2016考研数学一难点突破：常见问题深度解析

2016年的考研数学一难度可谓“几家欢喜几家愁”，不少考生反映题目难度较大，尤其是线代和概率部分。为了帮助大家更好地理解这些难点，本文将结合百科网风格，对几个常见问题进行深度解析，力求通俗易懂，让考生在复习中少走弯路。

问题一：2016年考研数学一数列求极限常见误区

数列求极限是考研数学中的经典题型，但很多考生在解题时容易陷入误区。2016年的数列题目就特别考察了这一点，不少考生因为对“ε-δ”语言的理解不够深入而失分。下面我们通过一个典型例题来解析这类问题的解题思路。

【例题】求极限lim(n→∞) (n2 + 1) / (n3 + n)。

【解析】很多考生在遇到这种极限时会直接套用洛必达法则，但实际上这种做法并不完全正确。正确的解题思路应该是：首先对分子分母同时除以n3，得到：

lim(n→∞) (1/n + 1/n3) / (1 + 1/n2)

当n→∞时，1/n→0，1/n3→0，1/n2→0，因此极限为0。这个例子告诉我们，在求解数列极限时，不能盲目套用公式，而要结合具体问题灵活处理。

考生还应该注意掌握一些常见的极限技巧，比如等价无穷小替换、倒代换等。例如，对于形如lim(n→∞) (an + bn) / (cn + dn)的极限，当a>b时，极限值为a/c；当c>d时，极限值为d/c。这些技巧在解题时能起到事半功倍的效果。

问题二：2016年考研数学一微分方程解题技巧

微分方程是考研数学中的另一大难点，2016年的题目就特别考察了可降阶的高阶微分方程和伯努利方程。不少考生在解题时容易忽略方程的特点，导致解题过程冗长甚至出错。

【例题】求解微分方程y'' 4y' + 4y = x2 e2x。

【解析】这道题看似复杂，但只要掌握正确的方法就能迎刃而解。我们需要求出对应的齐次方程y'' 4y' + 4y = 0的通解。特征方程为r2 4r + 4 = 0，解得r=2（重根），因此齐次方程的通解为y = (C1 + C2x)e2x。

接下来，我们需要求出非齐次方程的特解。由于非齐次项为x2 e2x，而2已经是特征根，因此我们尝试设特解为y = (Ax3 + Bx2)e2x。将y代入原方程，得到：

6Ax + 2B = x2

通过比较系数，解得A=1/6，B=0。因此特解为y = (x3/6)e2x。所以原方程的通解为：

y = (C1 + C2x)e2x + (x3/6)e2x

这个例子告诉我们，在求解微分方程时，首先要判断方程的类型，然后选择合适的方法。对于可降阶的高阶微分方程，通常可以通过换元将其转化为二阶微分方程；对于伯努利方程，则可以通过变量代换转化为线性微分方程。

问题三：2016年考研数学一概率论常见陷阱

概率论是考研数学中的难点之一，2016年的题目就特别考察了条件概率和全概率公式。不少考生在解题时容易忽略条件概率的定义，导致计算错误。

【例题】袋中有5个红球和3个白球，从中不放回地抽取3个球，求抽到2个红球的概率。

【解析】这道题看似简单，但很多考生在解题时会犯一些低级错误。正确的解题思路应该是：首先计算所有可能的抽法，即C(8,3)=56种；然后计算抽到2个红球的情况，即C(5,2)×C(3,1)=30种。因此概率为30/56=15/28。

但有些考生会忽略不放回的条件，错误地认为抽到2个红球的概率为C(5,2)/C(8,3)=5/28。这个例子告诉我们，在解题时一定要仔细审题，注意题目中的关键条件。

考生还应该注意掌握一些常见的概率模型，比如二项分布、泊松分布等。例如，对于独立重复试验，我们可以使用二项分布来计算事件发生的概率；对于稀疏事件，则可以使用泊松分布来近似计算。