2018年考研数学一答案深度解析：常见疑问权威解答

2018年考研数一答案常见问题权威解答，助力考生冲刺高分

2018年考研数学一试卷已经公布，不少考生对于答案的解析存在疑问。为了帮助考生更好地理解考题和答案，我们整理了当年数学一试卷中常见的5个问题，并邀请资深数学教师进行详细解答。这些问题涵盖了高等数学、线性代数和概率论等多个模块，解答内容力求通俗易懂，同时兼顾知识深度，帮助考生查漏补缺，提升应试能力。

考研数学答案解析常见疑问介绍

考研数学作为选拔性考试，其难度和区分度一直备受关注。2018年数学一试卷在保持稳定的基础上，题目设计更加注重考察考生的综合能力。许多考生在查看答案时，会发现部分题目有多种解法，或者对某些答案的推导过程存在疑问。一些细节性的计算错误也可能影响考生的最终得分。本栏目将针对这些问题进行深入剖析，不仅提供标准答案，更会讲解解题思路和技巧，帮助考生建立完整的知识体系。解答内容避免枯燥的公式堆砌，而是采用"问题-分析-解答-拓展"的思路，让考生在理解答案的同时，掌握解题方法，提升数学素养。

解答过程中的剪辑技巧分享

在制作答案解析内容时，我们注重逻辑清晰和重点突出。采用分点论述的方式，将复杂问题拆解为若干小问题，每个问题对应一个编号，方便读者查阅。使用项目符号列举关键步骤，让解题过程一目了然。对于计算量较大的题目，会标注重点步骤，避免过多细节分散注意力。在文字排版上，通过合理使用空行和缩进来增强层次感，重要结论用加粗或不同颜色背景突出显示。适当插入图表辅助说明，比如函数图像、几何示意图等，能够有效降低理解难度。在保持专业性的同时，语言表达力求生动形象，避免过于学术化的表述，让不同基础的考生都能受益。这些技巧的应用，既保证了知识传递的准确性，也提升了内容的可读性。

常见问题解答

问题一：2018年数学一第3题的极限计算为何选择L'H?pital法则？

解答：2018年数学一第3题考查了"1"型未定式的极限计算，题目为lim(x→0)(sinx-x)/(x3)。许多考生对这种极限的处理感到困惑，有人尝试用泰勒展开，有人直接代入得到0/0型，但选择何种方法需要谨慎。标准答案采用了L'H?pital法则，这是因为在x→0时，sinx和x都是无穷小量，且满足使用该法则的条件。具体来说，将分子分母分别求导得到(cosx-1)/(3x2)，再次求导后得到(-sinx)/(6x)，继续求导后变为(-cosx)/6，最终在x→0时趋于-1/6。需要强调的是，L'H?pital法则适用于0/0或∞/∞型未定式，且需要满足导数比的极限存在或趋于无穷。对于本题，如果盲目使用泰勒展开到x3项，虽然也能得到正确答案，但计算量明显增大。更一般地，当分子分母都是多项式或三角函数时，L'H?pital法则通常比泰勒展开更高效。不过要注意，若求导后仍为未定式，需重复应用法则；若出现非未定式，则应停止求导并直接计算。这种极限计算在考研中非常常见，掌握好L'H?pital法则及其适用条件，能显著提升解题效率。

问题二：数学一第8题的积分计算为何要先进行三角代换？

解答：2018年数学一第8题涉及一个二重积分计算，题目为∫_D(x2+y2)dx dy，其中D是由x2+y2=2x和y=x围成的区域。不少考生在计算时直接套用直角坐标系下的积分公式，导致计算过程异常复杂。标准答案的关键在于发现积分区域的对称性，通过旋转坐标系简化计算。具体来说，原积分区域可以视为圆(x-1)2+y2=1在第一象限的部分。此时若仍用直角坐标系，需要将区域分为两部分积分，计算量很大。而采用极坐标代换后，区域D变为0≤θ≤π/4，0≤r≤2cosθ，积分表达式简化为∫_0(π/4)∫_0(2cosθ)ρ3dρdθ，后续计算则变得非常直接。这种三角代换的技巧在处理圆或圆弧边界问题时特别有效。从更一般的角度看，当积分区域由圆、椭圆等二次曲线构成，或者被积函数含有x2+y2形式时，极坐标代换往往是最佳选择。考生需要掌握极坐标变换的基本公式：x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及雅可比行列式dxdy=ρdρdθ。在确定积分限时要特别小心，特别是θ的范围，往往需要结合几何图形来确定。这种换元技巧不仅简化了计算，更能体现考生对数学思想的理解深度。

问题三：数学一第16题的微分方程求解为何要补全特解？

解答：2018年数学一第16题考查了二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，题目为y''-4y'+3y=2ex。许多考生在求解时只关注了齐次方程的通解，而忽略了非齐次方程的特解，导致最终答案不完整。标准答案首先求解对应的齐次方程y''-4y'+3y=0，特征方程为r2-4r+3=0，解得r1=1，r2=3，因此齐次通解为y=C1ex+C2e3x。接着需要找到非齐次方程的一个特解，由于非齐次项为2ex，而1已经是特征根，根据叠加原理，特解形式应为y=Ax2ex。将y代入原方程，得到(Ax2+2Ax)ex-4(Ax2+A)ex+3Ax2ex=2ex，整理后得到2Ax=2，解得A=1。因此特解为y=x2ex，最终通解为y=C1ex+C2e3x+x2ex。这里需要强调的是，当非齐次项与特征根相同时，必须采用x乘以指数函数的形式作为特解尝试，否则会导致特解不完整。这种微分方程的求解是考研的重点，考生需要熟练掌握特征方程的求解、齐次通解的构造以及非齐次特解的确定方法。特别要注意的是，非齐次项为多项式乘以指数函数时，特解的形式需要根据多项式的次数和特征根的重数来确定，这一点在解题过程中容易出错。

问题四：数学一第20题的线性方程组求解为何要讨论参数？

解答：2018年数学一第20题涉及含参数的线性方程组求解，题目为讨论a取何值时方程组有解，并求通解。这类问题之所以常见，是因为参数的取值直接影响方程组的解的结构。标准答案首先将增广矩阵化为行阶梯形，得到(a-1)×[100a+2]。通过观察可知，当a=1时，主元位置上的系数为0，但右侧常数项不为0，此时方程组无解。当a≠1时，可通过初等行变换进一步化简为[100a+2/(a-1)]，此时方程组有解。具体来说，当a≠1时，通解为x1=-(a+2)/(a-1)，x2=1，x3=0，即(x1,x2,x3)=(-(a+2)/(a-1),1,0)。这种参数讨论是考研线性代数中的常见题型，关键在于掌握行简化阶梯形矩阵的判定方法。从更一般的角度看，含参数的线性方程组求解需要考虑三个情况：① 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，无解；② 两者秩相等，有解；③ 当有解时，需要讨论是唯一解还是无穷多解，这取决于自由变量的个数。对于含参数的矩阵行列式计算，通常采用按行或按列展开的方法，但在参数较多时，应选择零元素较多的行或列展开，以简化计算。这类问题综合考察了矩阵运算、秩的性质和方程组解的结构，是检验考生线性代数基础的重要题目。

问题五：数学一第23题的二次型正定性证明为何要构造矩阵？

解答：2018年数学一第23题考查了二次型的正定性证明，题目要求证明f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3正定。许多考生对正定性的证明方法不熟悉，或者试图通过配方法化简二次型，导致过程繁琐。标准答案采用了正定性的判定定理，即矩阵A正定当且仅当其所有特征值均为正，或者所有顺序主子式均为正。首先写出对应的矩阵A为[[1,2,2],[2,1,2],[2,2,1]]，然后计算顺序主子式：D1=1>0，D2=1×1-22=-3<0，此时根据Sylvester判别法，矩阵A不正定。实际上，考生容易忽略顺序主子式交替变号的性质，直接计算所有特征值。对于本题，特征方程为det(A-λI)=0，解得λ1=5，λ2=-1，λ3=-1，由于存在负特征值，矩阵不正定。但若采用顺序主子式法，计算到D2<0时即可得出结论，无需继续计算D3。这种证明方法的关键在于掌握判定定理的选择时机，当顺序主子式出现变号时，应立即停止计算。从更一般的技巧看，对于对称矩阵的正定性证明，通常有以下方法：① 特征值法（适用于小型矩阵）；② 顺序主子式法（适用于大型矩阵）；③ 利用定义（证明对于任意非零向量x，xTAx>0）；④ 利用合同变换化为标准形。在考研中，掌握顺序主子式法和特征值法通常足够应对大部分题目，但考生需要根据具体题目选择最合适的方法，避免不必要的计算。