24考研数学二第21题难点解析与易错点梳理

2024年考研数学二第21题涉及定积分的应用，主要考查了考生对旋转体体积计算、微分方程求解以及参数方程求导的综合应用能力。不少考生在答题过程中容易因计算细节疏漏或概念理解偏差而失分。本文将结合历年真题特点，从题目背景、解题思路及常见错误三个维度展开解析，帮助考生厘清解题脉络，提升应试技巧。

题目核心考点梳理

这一题本质上是定积分物理应用与微分方程联考的复合题型。考生需先通过定积分建立旋转体体积的数学模型，再利用微分方程确定曲线方程，最后结合参数方程求导得出最终结果。整个过程涉及三个关键环节的衔接，稍有不慎就会导致计算链断裂。

• 旋转体体积公式应用是否准确
• 微分方程初始条件的确定
• 参数方程求导的符号处理

解题步骤详解

题目要求计算由曲线y=lnx与直线y=x-2所围区域绕x轴旋转形成的旋转体体积。考生需先通过画图确定积分区间[1,2]，然后套用旋转体体积公式V=π∫[a,b](f(x)2-g(x)2)dx。这里f(x)=lnx，g(x)=x-2，积分表达式变为π∫[1,2]((lnx)2-(x-2)2)dx。

难点在于第二阶段需要求解微分方程y'=(x+y)(x-y)，通过变量代换u=x-y或u=x+y均可化为可分离变量方程。解出通解后需代入边界条件y(1)=0确定特解，最后将曲线方程转化为参数方程形式，才能完成对参数方程求导的考查。整个过程看似简单，但每一步都暗藏陷阱，如积分区间判断、微分方程通解的任意常数取舍等，都是考生容易失分的环节。

常见错误案例剖析

根据阅卷反馈，考生主要在三个地方出错：一是忘记对lnx取绝对值导致积分结果错误；二是微分方程解出通解后忘记加任意常数；三是参数方程求导时漏掉对参数t的链式法则。这些错误看似细枝末节，实则反映了对基础概念的掌握不够扎实。建议考生在备考过程中，针对这类综合性题目建立"检查清单"，逐项核对计算步骤，避免因粗心失分。