考研数学660题习题册核心难点突破与解题技巧分享

考研数学660题习题册作为备考中的经典资料，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计等多个模块的重难点。许多考生在练习过程中会遇到各种各样的问题，比如解题思路卡壳、计算易错、概念混淆等。本站特别整理了习题册中常见的5个问题，并附上详细解答，帮助大家扫清学习障碍，提升应试能力。以下内容将结合具体题目，从解题技巧和知识点巩固两方面进行深入剖析，力求让考生不仅知其然，更知其所以然。

问题一：函数极限的计算技巧与常见误区

在660题中，函数极限的计算是高频考点，但不少考生在求解过程中容易陷入误区。比如，对于形如“1∞”未定式的极限，有些同学会盲目套用洛必达法则，而忽略了等价无穷小替换等更简便的方法。下面以题目9为例进行详细解析：

题目：lim(x→0) (x2sin(x)/x sin(x)/x) / x2

正确答案：将原式拆分为lim(x→0) [x2sin(x)/x2 sin(x)/x2] / x2，进一步简化为lim(x→0) [sin(x)/x 1] / x2。此时，若直接使用洛必达法则，会得到一个复杂的计算过程。但若注意到sin(x)/x 1 = -cos(x)/x2，再结合cos(x)的泰勒展开式，就能迅速得出极限为-1/2。这个例子说明，解题时需灵活运用各种方法，避免路径依赖。

问题二：矩阵运算中的秩与线性方程组求解

矩阵的秩是线性代数中的核心概念，但在660题中，许多考生对其与线性方程组解的关系理解不清。比如题目25要求判断非齐次线性方程组解的情况，部分同学会机械地使用矩阵的行简化形式，而忽略了系数矩阵与增广矩阵秩的关系。下面给出该题的完整解析：

题目：设A为4×3矩阵，秩(A) = 2，B为3×2矩阵，秩(B) = 1，则矩阵方程AX = B的解的情况如何？

正确答案：根据矩阵秩的性质，增广矩阵[AB]的秩至多为3，而系数矩阵A的秩为2，因此秩(A) < 秩([AB])，方程组无解。这个结论的得出基于对矩阵秩的基本定理的理解，而非简单的行列式计算。考生需要建立知识点之间的联系，形成完整的知识体系。

问题三：三重积分的换元技巧与边界处理

三重积分的计算是高等数学中的难点，尤其在660题中，涉及到柱面坐标和球面坐标的换元时，不少同学容易在边界处理上出错。以题目42为例，很多考生在写出积分表达式后，会忽略积分区域的对称性，导致计算过程冗长且容易出错：

题目：计算?D z dV，其中D是由z = √(x2+y2)和z = 1所围成的区域

正确答案：若直接使用直角坐标，需要将积分区域分成两部分处理，但若转换为柱面坐标，则能简化为∫0{2π