考研数学每日一题：函数零点与连续性问题的深度解析

在考研数学的备考过程中，函数的零点与连续性是考生们普遍关注的热点问题。这些问题不仅考察了考生对基础概念的理解，还涉及到复杂的逻辑推理和计算能力。武忠祥老师的每日一题系列，通过精选典型案例，帮助考生逐步掌握解题技巧。下面，我们将针对几个常见的函数零点与连续性问题进行详细解答，帮助大家理清思路，提升解题效率。

问题一：如何判断函数在某区间内存在零点？

函数零点的存在性问题，通常需要借助介值定理或零点定理来解决。以一个典型的例题为例：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，那么函数f(x)在(a, b)内至少存在一个零点。这是因为根据介值定理，连续函数在闭区间上的最大值与最小值之间必能取到该区间上的所有值。当f(a)与f(b)异号时，说明在a与b之间必有一点c，使得f(c) = 0。

具体解题时，需要注意以下几点：要确认函数在所讨论区间上的连续性；要检查端点函数值的符号是否相反；要明确零点定理的适用条件。例如，对于函数f(x) = x3 3x + 1在区间[-2, 2]上的零点问题，我们可以先计算f(-2) = -11和f(2) = 5，发现两者异号，因此根据零点定理，函数在(-2, 2)内至少存在一个零点。进一步通过二阶导数测试，可以确定零点的个数和位置。

问题二：如何处理分段函数的连续性问题？

分段函数的连续性问题，关键在于检查分段点处的连续性。一个典型的考点是：设函数f(x) = {x2 1, x ≤ 1; 2ax + 1, x > 1