考研数学真题每日一题深度解析：极限与连续性专题突破
在考研数学的备考过程中，极限与连续性是基础且重要的章节，也是历年真题中的高频考点。通过每日一题的形式，考生可以系统性地巩固知识点，提升解题能力。本专题精选了5道典型真题，涵盖极限的计算、连续性的判定以及相关应用，并附有详细解析。这些问题不仅考察了考生对基本概念的理解，还涉及了多种解题技巧和思维方法，适合不同阶段的考生参考学习。
问题一：计算极限 lim (x→0) (ex cosx) / x2
这道题主要考察考生对极限计算方法的掌握，特别是洛必达法则的应用。极限的形式是“0/0”型，因此可以考虑使用洛必达法则进行求解。
- 对分子和分母分别求导，得到 (ex + sinx) / 2x。
- 再次求导，得到 (ex + cosx) / 2。
- 当x→0时，极限值为 (1 + 1) / 2 = 1。
在应用洛必达法则时，要确保每次求导后的极限存在或趋于无穷大，否则需要考虑其他方法。本题还可以通过泰勒展开式进行求解，分子ex和cosx的泰勒展开分别为1 + x + x2/2 + o(x2)和1 x2/2 + o(x2)，相减后得到x + x2/2，再除以x2，极限同样为1。
问题二：讨论函数 f(x) = x2sin(1/x) (x≠0), f(0)=0 在 x=0 处的连续性
本题考察的是函数在一点的连续性，需要验证极限是否存在且等于函数值。
- 计算左极限和右极限，由于sin(1/x)在x→0时振荡，但x2趋于0，因此极限为0。
- 函数在x=0处的值为0，与极限相等。
由此可见，函数在x=0处连续。对于含有振荡函数的极限问题，要结合函数的性质进行分析，不能简单地套用极限运算法则。
问题三：求极限 lim (x→∞) [x sin(x)/x] / (x + cos(x)/x)
这道题考察的是“∞/∞”型极限的计算，可以通过分子分母同除以x进行简化。
- 将分子分母同除以x，得到 [1 sin(x)/x2] / [1 + cos(x)/x2]。
- 当x→∞时，sin(x)/x2和cos(x)/x2均趋于0，因此极限为1。
在处理“∞/∞”型极限时，要避免直接套用洛必达法则，因为可能导致计算复杂化。通过变形简化是更有效的方法。
问题四：证明函数 f(x) = x 在 x=0 处连续
证明函数连续性需要验证极限是否存在且等于函数值。
- 计算左极限和右极限，由于x在x→0时趋近于0，因此左右极限均为0。
- 函数在x=0处的值为0，与极限相等。
由此可见，函数在x=0处连续。对于含有绝对值的函数，要分别讨论左极限和右极限。
问题五：计算极限 lim (x→0) (x2 sin2x) / x2tanx
这道题考察的是极限的化简和三角函数的性质，可以通过等价无穷小替换简化计算。
- 将sin2x用1 cos(2x)替换，得到 (x2 1 + cos(2x)) / x2tanx。
- 将cos(2x)用1 2sin2(x)替换，得到 (x2 1 + 1 2sin2(x)) / x2tanx。
- 化简后，分子为-2sin2(x)，分母为x2tanx，极限为-2 (x2/x2) = -2。
在处理三角函数的极限问题时，要熟练掌握等价无穷小替换，如sinx ~ x, tanx ~ x (x→0)等，这样可以大大简化计算过程。