2011考研数学一真题难点解析：常见问题深度剖析

内容介绍

2011年的考研数学一真题至今仍是考生们研究的热点，其中不少题目难度较大，解题思路灵活多变。本文将围绕数量部分的3-5题，结合百科网风格，深入解析这些题目的解题技巧和常见误区。通过对真题的细致分析，帮助考生理解出题思路，掌握解题方法，避免在类似问题上再犯错误。无论是基础薄弱还是寻求突破的考生，都能从中获得有价值的参考。

常见问题解答与解答

问题1：2011年数学一真题第3题的解题思路是什么？

解答：
2011年数学一真题第3题是一道关于函数极限与连续性的综合题，题目给出某函数表达式，要求判断其在特定点的极限值。这道题的难点在于需要考生熟练掌握极限的基本性质和运算法则，同时能够灵活运用洛必达法则处理"0/0"型未定式。

题目中的函数涉及到复合函数，考生需要先对函数进行分解，明确内层函数和外层函数的关系。在计算极限时，要注意观察极限形式是否为未定式，如果是"0/0"型，则可以尝试使用洛必达法则。但洛必达法则需要满足一定的条件，即分子分母的导数存在且极限存在或趋于无穷大。

有些考生容易忽略函数连续性的判断，导致解题过程不完整。正确做法是先判断极限是否存在，再结合函数在对应点的值，才能得出最终结论。通过这道题，考生可以复习极限计算的多种方法，并加深对函数连续性概念的理解。

问题2：第4题的积分计算技巧有哪些？

解答：
第4题是一道定积分计算题，主要考察考生对积分技巧的掌握程度。这道题的难点在于积分区间和被积函数都比较复杂，需要考生灵活运用换元积分法和分部积分法。解题时，首先要仔细观察被积函数的特点，判断是否适合使用特定积分方法。

对于这类积分题，常见的解题技巧包括：
1. 换元法：当被积函数中含有根式或三角函数时，可以考虑使用换元法简化积分。例如，对于含有根式的积分，可以设根式为新的变量，将积分转化为更简单的形式。
2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以尝试使用分部积分法。关键在于选择u和dv，通常选择容易求导的函数为u，容易积分的函数为dv。
3. 分段积分：当积分区间比较复杂时，可以考虑将积分区间拆分成几个子区间，分别计算后再相加。

特别值得注意的是，有些考生在计算过程中容易忽略积分区间的对称性，导致计算过程繁琐。如果被积函数关于原点对称，可以利用对称性简化积分计算。计算过程中要注意细节，避免出现符号错误或计算失误。

问题3：第5题的微分方程求解有哪些要点？

解答：
第5题是一道微分方程求解题，主要考察考生对一阶线性微分方程的掌握程度。这道题的难点在于需要考生能够正确识别微分方程的类型，并选择合适的求解方法。解题时，首先要将微分方程化为标准形式，以便确定使用哪种求解方法。

一阶线性微分方程的标准形式为：
$$ y' + p(x)y = q(x) $$
其中，p(x)和q(x)是已知函数。求解这类方程的常用方法有两种：
1. 积分因子法：首先计算积分因子μ(x) = e∫p(x)dx，然后将原方程两边乘以积分因子，转化为全微分方程，最后两边积分即可求解。
2. 公式法：直接使用通解公式：
$$ y = e{-∫p(x)dx