考研数二第一章常见考点与易错题深度解析

练习题常见问题解答

问题一：函数的奇偶性如何判断？

在考研数二第一章中，函数的奇偶性是常考知识点，很多同学容易混淆奇函数和偶函数的定义。奇函数满足f(-x) = -f(x)，而偶函数满足f(-x) = f(x)。判断时要注意以下几点：1）首先检查函数的定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，直接判定为非奇非偶函数；2）对于分式函数，要先将分子分母同时替换-x后再化简，避免符号错误；3）复合函数的奇偶性需要分步判断，例如f(g(x))的奇偶性取决于f和g的奇偶性组合。特别提醒，像f(x) = x3sin(x)-1这样的函数，虽然是奇函数，但减1后不再是奇函数，需要重新验证。例题中f(x) = x2cos(x)+1是偶函数，因为f(-x) = (-x)2cos(-x)+1 = x2cos(x)+1，但f(x) = x2cos(x)-1是奇函数，因为f(-x) = x2cos(-x)-1 = x2cos(x)-1。

问题二：极限的计算方法有哪些？

极限计算是考研数二的重中之重，常见方法包括：1）直接代入法：适用于连续函数；2）因式分解法：通过分解约去不定式因子，如lim(x→2)(x2-4)/(x-2) = lim(x→2)(x+2) = 4；3）有理化法：针对根式型不定式，如lim(x→0)(√(1+x)-1)/x = lim(x→0)(x)/(x(√(1+x)+1)) = 1/2；4）等价无穷小替换：利用常用等价式简化计算，如lim(x→0)(sin3x)/(x) = lim(x→0)(3x)/(x) = 3；5）洛必达法则：适用于"0/0"或"∞/∞"型，但要注意多次使用前要化简。特别要注意的是，洛必达法则需要先验证条件，且不能滥用。例如lim(x→0)(x-sinx)/x3，若盲目使用洛必达会陷入无限循环，正确做法是先展开sinx的泰勒公式，得到原式=lim(x→0)(x-x-1/6x3)/x3 = -1/6。

问题三：连续性与间断点的判断技巧

连续性是考研数二第一章的另一个高频考点，判断连续性时要注意：1）分段函数在分段点的连续性需要分别验证左极限、右极限和函数值是否相等；2）复合函数的连续性可以通过"外函数连续且内函数点连续"来判定；3）对于含绝对值的函数，要先去掉绝对值再判断。间断点的分类也很重要：可去间断点（极限存在但不等于函数值或函数无定义）、跳跃间断点（左右极限存在但不相等）和无穷间断点（极限为无穷大）。解题技巧包括：1）对于x2sin(1/x)这类函数，在x=0处是可去间断点，补充定义即可；2）对于tan(x/2)/(x-π)，x=π处是跳跃间断点，左右极限分别为-1/2π和1/2π；3）对于1/(x-1)2，x=1处是无穷间断点。特别提醒，判断连续性时不要忽略定义域的考察，如f(x) = √(x2-1)/x在x=±1处不是连续点。

为了更好地掌握这些知识点，建议同学们准备一个错题本，将做错的题目分类整理，并标注错误原因。对于极限计算这类问题，可以尝试一题多解，加深理解。函数的奇偶性判断时，画图辅助思考往往能更快找到答案。连续性与间断点的问题，建议多练习典型的分段函数和复合函数题目，熟悉各种情况的处理方法。