考研数学基础习题：函数与极限难点精解

考研数学的基础阶段，函数与极限是核心内容，也是许多考生容易混淆的知识点。这一部分不仅涉及概念理解，更考验逻辑推理能力。本文将从函数性质、极限计算、连续性等多个角度，精选3-5道典型习题，结合百科网风格，深入剖析解题思路与易错点。通过实例讲解，帮助考生建立清晰的知识框架，避免陷入死记硬背的误区。我们将注重方法的总结与拓展，让读者在解题过程中提升思维层次，为后续学习打下坚实基础。

1. 函数奇偶性与单调性的综合判断

【问题】设函数f(x)满足f(x) = f(1-x)，且在区间(0,1)内单调递增，判断f(x)在区间(1,2)内的单调性。

【解答】根据题意f(x) = f(1-x)表明该函数关于x=1/2对称。这意味着如果x在(0,1)内，那么1-x就在(1,2)内，且f(x)的值与f(1-x)相同。由于已知f(x)在(0,1)内单调递增，不妨设x1 < x2且0 < x1 < x2 < 1，则有f(x1) < f(x2)。由于x1和x2关于x=1/2对称，对应的1-x2 < 1-x1且1-x2 > 0，因此f(1-x2) < f(1-x1)。又因为1-x2在(1,2)内，1-x1也在(1,2)内，所以f(x)在(1,2)内也是单调递增的。这个结论的关键在于利用对称性和单调性的传递性，通过转化区间来证明。值得注意的是，如果题目改为f(x) = f(1-x)且在(0,1)内单调递减，那么f(x)在(1,2)内仍然是单调递增的，因为对称点处的函数值关系会反过来。这种对称性题目往往需要灵活处理区间转化，避免直接套用单调性定义导致错误。

2. 极限计算中的洛必达法则应用

【问题】计算极限lim(x→0) [(x2 sinx) / (x sinx)]。

【解答】当x→0时，分子x2 sinx→0，分母x sinx→0，形成0/0型未定式，可应用洛必达法则。首先对分子分母求导：分子的导数为2x sinx + x2 cosx，分母的导数为1 cosx。再次代入极限得lim(x→0) [(2x sinx + x2 cosx) / (1 cosx)]。此时分子分母仍为0/0型，继续应用洛必达法则：分子导数为2 sinx + 4x cosx x2 sinx，分母导数为sinx。代入极限得lim(x→0) [(2 sinx + 4x cosx x2 sinx) / sinx]。由于sinx→0，可拆分极限为3个部分：lim(x→0) [2 sinx / sinx] + lim(x→0) [4x cosx / sinx] lim(x→0) [x2 sinx / sinx]。前两部分分别等于2和4lim(x→0) [x cosx / sinx]，利用等价无穷小sinx~x得4lim(x→0) [cosx] = 4。第三部分因sinx与x等价也为0。最终极限为2 + 4 0 = 6。这个题目需要多次应用洛必达法则，同时注意等价无穷小的简化。值得注意的是，每次使用前都要确认是否为未定式，避免盲目求导。洛必达法则的前提是导数存在且极限存在或为无穷大，如果直接求导后极限不存在，则需考虑其他方法。

3. 函数连续性的判断与间断点分类

【问题】讨论函数f(x) = x-1 sin(1/x)在x=0处的连续性。

【解答】函数f(x)在x=0处有定义，f(0) = 0-1 sin(1/0) = 0（注意sin(1/x)在x→0时振荡但被绝对值限制）。接下来判断左右极限：lim(x→0-) f(x) = lim(x→0-) x-1 sin(1/x) = lim(x→0-) (1-x) sin(1/x) = 0（因为1-x→1，sin(1/x)有界）。同理lim(x→0+) f(x) = lim(x→0+) x-1 sin(1/x) = lim(x→0+) (x-1) sin(1/x) = 0。左右极限相等且等于函数值，因此f(x)在x=0处连续。这个结论的关键在于绝对值函数与振荡函数的乘积在x→0时可以通过有界性判断极限。值得注意的是，如果题目改为g(x) = x sin(1/x)，虽然g(x)在x=0处也连续，但分类时属于可去间断点，因为x→0比x-1更迅速。这种含绝对值与振荡函数的复合函数需要分情况讨论，同时结合有界性才能准确判断。