考研数学660数二必做题难点突破与精解
考研数学660数二必做题是考生备考过程中的一大难点，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计等多个模块的核心考点。这些题目不仅难度较大，而且考察方式灵活多变，需要考生具备扎实的理论基础和丰富的解题技巧。本文将针对必做题中常见的几个问题进行深入剖析，并提供详细的解答思路，帮助考生更好地理解和掌握相关知识点，提升应试能力。
问题一：定积分的应用——求旋转体的体积
在考研数学660数二必做题中，定积分的应用是一个高频考点，尤其是求旋转体的体积问题。这类问题通常需要考生灵活运用微元法，并结合积分技巧进行求解。下面以一个典型例题为例，详细讲解解题过程。
【例题】求曲线y=lnx在x=1和x=2之间绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
【解答】我们需要确定旋转体的体积公式。对于绕x轴旋转的曲线y=f(x)，其在[a,b]区间内形成的旋转体体积V可以表示为：
V = π∫[a,b] f(x)2 dx
在本题中，f(x) = lnx，a=1，b=2，因此体积公式变为：
V = π∫[1,2] (lnx)2 dx
接下来，我们需要计算这个定积分。由于积分函数中含有对数函数的平方，直接积分比较困难，因此可以考虑使用分部积分法。设u=(lnx)2，dv=dx，则du=2lnx/(x dx)，v=x。根据分部积分公式∫u dv = uv ∫v du，我们可以得到：
∫(lnx)2 dx = x(lnx)2 ∫x 2lnx/(x dx)
化简后变为：
∫(lnx)2 dx = x(lnx)2 2∫lnx dx
对于∫lnx dx，再次使用分部积分法，设u=lnx，dv=dx，则du=1/x dx，v=x。得到：
∫lnx dx = xlnx ∫x 1/x dx = xlnx x
将这个结果代入原积分式中，得到：
∫(lnx)2 dx = x(lnx)2 2(xlnx x) = x(lnx)2 2xlnx + 2x
因此，原定积分变为：
π∫[1,2] (lnx)2 dx = π[2x 2xlnx + x(lnx)2 [1,2]
计算边界值：
当x=2时，2x 2xlnx + x(lnx)2 = 4 4ln2 + 4ln2 2
当x=1时，2x 2xlnx + x(lnx)2 = 2 0 + 0 = 2
所以，原积分结果为：
π[(4 4ln2 + 4ln2 2) 2] = π(2 4ln2 + 4ln2 2)
这就是曲线y=lnx在x=1和x=2之间绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
问题二：微分方程的应用——求解曲线方程
微分方程在考研数学660数二必做题中也是一个重要考点，尤其是求解曲线方程的问题。这类问题通常需要考生根据题目条件建立微分方程，并通过求解方程得到曲线方程。
【例题】已知曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的立方，且曲线经过点(1,2)，求该曲线的方程。
【解答】根据题意，曲线上任一点(x,y)处的切线斜率dy/dx等于该点横坐标x的立方，即：
dy/dx = x3
这是一个一阶微分方程，我们可以通过积分来求解。对两边积分，得到：
y = ∫x3 dx = (1/4)x4 + C
其中C是积分常数。根据题目条件，曲线经过点(1,2)，即当x=1时，y=2。代入上式，得到：
2 = (1/4)×14 + C
解得C = 2 1/4 = 7/4
因此，曲线方程为：
y = (1/4)x4 + 7/4
这就是满足题目条件的曲线方程。
问题三：空间解析几何——求直线与平面的交点
空间解析几何是考研数学660数二必做题中的一个难点，尤其是求直线与平面的交点问题。这类问题需要考生熟练掌握直线和平面的方程，并通过解方程组来求解交点坐标。
【例题】求直线L：x=2t+1，y=t-1，z=t+2与平面π：3x-2y+z=5的交点。
【解答】我们需要将直线L的参数方程转换为一般方程。由x=2t+1，y=t-1，z=t+2，可以得到：
t = y + 1
将t代入x和z的方程中，得到：
x = 2(y + 1) + 1 = 2y + 3
z = (y + 1) + 2 = y + 3
因此，直线L的一般方程为：
{ x = 2y + 3
z = y + 3
接下来，我们将直线L的一般方程与平面π的方程联立，求解交点坐标：
3x 2y + z = 5
将x=2y+3，z=y+3代入上式，得到：
3(2y+3) 2y + (y+3) = 5
6y + 9 2y + y + 3 = 5
5y + 12 = 5
5y = -7
y = -7/5
将y=-7/5代入x和z的方程中，得到：
x = 2(-7/5) + 3 = -14/5 + 15/5 = 1/5
z = -7/5 + 3 = -7/5 + 15/5 = 8/5
因此，直线L与平面π的交点坐标为(1/5, -7/5, 8/5)。