2013年数学一考研真题答案解析如下：
一、选择题解析
1. 解析：本题考查函数的连续性。根据连续的定义，当x趋近于a时，f(x)的极限等于f(a)。由于函数f(x)在x=a处连续，故f(a)=1。所以选D。
2. 解析：本题考查一元二次方程的解法。利用求根公式，将a、b、c代入，得到方程的解为x1=1，x2=-3。所以选C。
3. 解析：本题考查定积分的计算。首先求出被积函数的原函数，然后代入上下限，得到定积分的值。计算过程如下：
\[ \int_0^1 (3x^2 + 2x + 1) dx = \left[ x^3 + x^2 + x \right]_0^1 = (1^3 + 1^2 + 1) - (0^3 + 0^2 + 0) = 3 \]
所以选C。
二、填空题解析
1. 解析：本题考查数列的通项公式。根据题意，数列的通项公式为an = 3^n - 1。所以填3^n - 1。
2. 解析：本题考查线性方程组的解法。根据克莱姆法则，系数矩阵的行列式不为0，故方程组有唯一解。解得x=1，y=2。所以填1，2。
三、解答题解析
1. 解析：本题考查一元函数的导数和积分。首先求出函数的导数，然后求出原函数，最后代入上下限，得到定积分的值。计算过程如下：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 5) = 6x^2 + 6x \]
\[ F(x) = \int (6x^2 + 6x) dx = 2x^3 + 3x^2 + C \]
\[ \int_0^2 (6x^2 + 6x) dx = F(2) - F(0) = (2^3 + 3^2 + C) - (0^3 + 0^2 + C) = 14 \]
所以填14。
2. 解析：本题考查多元函数的偏导数和极值。首先求出函数的偏导数，然后求出二阶偏导数，最后求出极值。计算过程如下：
\[ f_x'(x, y) = \frac{d}{dx}(x^2y + 2xy^2) = 2xy + 2y^2 \]
\[ f_y'(x, y) = \frac{d}{dy}(x^2y + 2xy^2) = x^2 + 4xy \]
\[ f_{xx}''(x, y) = \frac{d^2}{dx^2}(2xy + 2y^2) = 2y \]
\[ f_{yy}''(x, y) = \frac{d^2}{dy^2}(x^2 + 4xy) = 4x \]
\[ f_{xy}''(x, y) = \frac{d^2}{dydx}(2xy + 2y^2) = 2x \]
\[ AC - B^2 = 2y \cdot 4x - (2x)^2 = 8xy - 4x^2 \]
当8xy - 4x^2 = 0时，y = \frac{1}{2}x。将y = \frac{1}{2}x代入原函数，得到x=0，y=0。所以填(0, 0)。
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