线性代数在考研真题中往往以方程组的形式出现，考察考生对矩阵、行列式、向量等概念的理解和应用能力。以下是一道线性代数考研真题方程组的原创解析：
题目：设向量组 $\boldsymbol{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{a}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{a}_3 = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}$，求线性方程组 $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}$ 的解，其中 $\boldsymbol{A}$ 为由 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ 组成的矩阵，$\boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} 10 \\ 15 \\ 20 \end{bmatrix}$。
解题步骤：
1. 首先写出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和向量 $\boldsymbol{b}$：
$$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} 10 \\ 15 \\ 20 \end{bmatrix}$$
2. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行初等行变换，将其化为行最简形式：
$$\boldsymbol{A} \xrightarrow{r_3 - 3r_2} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_1} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 0 & -3 & -6 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_2 \times \frac{1}{3}} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & \frac{5}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & -3 & -6 \end{bmatrix}$$
3. 令 $x_3 = t$，将方程组转化为关于 $x_1, x_2$ 的方程组：
$$\begin{cases} x_1 + 4x_2 + 7t = 10 \\ 2x_1 + \frac{5}{3}x_2 + \frac{8}{3}t = 15 \\ -3x_1 - 6x_2 = -6t \end{cases}$$
4. 解得 $x_1 = 3 - 5t, x_2 = 6 - 4t$，因此通解为：
$$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}$$
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