2000年数学一考研真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
6. C
7. B
8. D
9. A
10. C
二、填空题
11. 3
12. π
13. 2
14. 1
15. 2
三、解答题
16. 解：设函数f(x) = ln(x+1)，则f'(x) = 1/(x+1)。根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0,1)使得f(1) - f(0) = f'(ξ)(1-0)，即ln2 = 1/ξ。解得ξ = 1/ln2。
17. 解：设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，解得x = ±1。当x∈(-∞,-1)时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x∈(-1,1)时，f'(x) > 0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。因此，f(x)的极小值为f(-1) = -2，极大值为f(1) = -2。
18. 解：设f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。令f'(x) = 0，解得x = 1或x = 3。当x∈(-∞,1)时，f'(x) > 0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x∈(3,+∞)时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。因此，f(x)的极大值为f(1) = 4，极小值为f(3) = 0。
四、证明题
19. 证明：设函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，解得x = ±1。当x∈(-∞,-1)时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x∈(-1,1)时，f'(x) > 0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。因此，f(x)的极小值为f(-1) = -2，极大值为f(1) = -2。
五、计算题
20. 解：设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，解得x = ±1。当x∈(-∞,-1)时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x∈(-1,1)时，f'(x) > 0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。因此，f(x)的极小值为f(-1) = -2，极大值为f(1) = -2。
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