在24考研的高数二真题中，考生将面临一系列涵盖极限、导数、积分、级数、线性代数等核心知识点的题目。以下是一份模拟真题及答案：
真题：
1. 求函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} \) 的导数 \( f'(x) \)。
2. 计算定积分 \( \int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx \)。
3. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
4. 证明级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 收敛。
答案：
1. \( f'(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 + 3}{(x^2 - 1)^2} \)。
2. \( \int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \frac{\pi}{2} \)。
3. 特征值为 \( \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 6 \)，对应的特征向量分别为 \( \mathbf{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) 和 \( \mathbf{v_2} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
4. 由比较判别法，由于 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 与 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 同级且收敛，故原级数收敛。
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