2022年考研数二真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数在x=0处连续的是（ ）
A. \( f(x) = \frac{x}{x} \)
B. \( f(x) = \frac{x^2}{x} \)
C. \( f(x) = \frac{x^3}{x} \)
D. \( f(x) = \frac{x^4}{x} \)
答案：D
解析：当x=0时，四个选项中只有D选项的函数值为0，其他选项的函数值不存在。
2. 设函数\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则\( f'(1) = \)（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：D
解析：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，代入x=1得\( f'(1) = 3 - 3 = 0 \)。
3. 下列矩阵中，可逆矩阵是（ ）
A. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
B. \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)
C. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
D. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
答案：C
解析：C选项为3阶单位矩阵，是可逆矩阵。
二、填空题
1. 设\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则\( f''(x) = \)（ ）
答案：6x
解析：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，\( f''(x) = 6x \)。
2. 设\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则\( |A| = \)（ ）
答案：-2
解析：\( |A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \)。
三、解答题
1. 求极限：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)
答案：1
解析：利用洛必达法则，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \)。
2. 设\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求\( A^{-1} \)
答案：\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
解析：利用矩阵求逆公式，\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \)，代入数值计算得\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)。
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