在2021年考研数二的试卷中，第21题是一道典型的概率论与数理统计题目。题目内容如下：
设随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，\(Y\)服从参数为\(\mu\)的指数分布。已知\(X\)和\(Y\)相互独立，且\(E(XY) = 2\)，求\(P(X+Y \geq 3)\)。
解题思路如下：
1. 首先，根据泊松分布和指数分布的定义，可以写出\(X\)和\(Y\)的概率质量函数和概率密度函数。
2. 由于\(X\)和\(Y\)相互独立，可以利用乘法公式计算\(E(XY)\)。
3. 通过\(E(XY) = 2\)这一条件，建立方程求解\(\lambda\)和\(\mu\)。
4. 最后，利用求得的\(\lambda\)和\(\mu\)，计算\(P(X+Y \geq 3)\)。
解答过程：
1. 泊松分布的概率质量函数为\(P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\)，其中\(k=0,1,2,\ldots\)。
2. 指数分布的概率密度函数为\(f_Y(y) = \mu e^{-\mu y}\)，其中\(y>0\)。
3. 由于\(X\)和\(Y\)相互独立，\(E(XY) = E(X)E(Y)\)。泊松分布的期望为\(E(X) = \lambda\)，指数分布的期望为\(E(Y) = \frac{1}{\mu}\)。
4. 将\(E(XY) = 2\)代入，得到\(\lambda \cdot \frac{1}{\mu} = 2\)，即\(\lambda = 2\mu\)。
5. 为了求解\(P(X+Y \geq 3)\)，需要先计算\(P(X+Y = 3)\)和\(P(X+Y = 4)\)。
6. 利用泊松分布和指数分布的公式，计算\(P(X+Y = 3)\)和\(P(X+Y = 4)\)。
7. 最后，\(P(X+Y \geq 3) = 1 - P(X+Y < 3) = 1 - (P(X+Y = 0) + P(X+Y = 1) + P(X+Y = 2))\)。
解答完毕。如果您想了解更多考研数二的刷题技巧，可以关注微信小程序【考研刷题通】，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助您高效备考！