例题：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1 \) 在闭区间 \([1, 4]\) 上连续，在开区间 \((1, 4)\) 内可导。证明存在至少一点 \( \xi \in (1, 4) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
解答过程：
首先，由于 \( f(x) \) 在闭区间 \([1, 4]\) 上连续，根据闭区间连续函数的性质，\( f(x) \) 在 \([1, 4]\) 上必定存在最大值和最小值。
计算 \( f(x) \) 的导数，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。为了找到 \( f'(x) \) 的极值点，需要令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。但 \( x = \frac{2}{3} \) 不在区间 \([1, 4]\) 内，故只考虑 \( x = 1 \)。
由于 \( f'(x) \) 在 \([1, 4]\) 上连续，且 \( f'(1) = 3 - 6 + 4 = 1 \)，\( f'(4) = 48 - 24 + 4 = 28 \)。根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (1, 4) \) 使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
因此，至少存在一点 \( \xi \in (1, 4) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
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