在2020年的考研数学一卷中，第四题是一道典型的应用题，涉及到了高等数学中的极值问题。题目通常要求考生求出某个函数在特定条件下的最大值或最小值。具体题目内容可能如下：
题目：已知函数 \( f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 6y + 9 \)，其中 \( x \geq 0, y \geq 0 \)。求函数 \( f(x, y) \) 在第一象限内取得最小值的点及其对应的函数值。
考生需要首先对函数进行求导，找到驻点，然后通过二阶导数判断这些驻点是否为极值点。最后，比较第一象限内所有可能的极值点，确定最小值及其对应的点。
解答：
1. 对 \( f(x, y) \) 求偏导数：
\[ f_x' = 2x + 2y - 4 \]
\[ f_y' = 2x + 2y - 6 \]
2. 解方程组 \( f_x' = 0 \) 和 \( f_y' = 0 \) 找到驻点：
\[ 2x + 2y - 4 = 0 \]
\[ 2x + 2y - 6 = 0 \]
解得 \( x = 1, y = 1.5 \)。
3. 对 \( f(x, y) \) 进行二阶偏导数检验：
\[ f_{xx}'' = 2 \]
\[ f_{yy}'' = 2 \]
\[ f_{xy}'' = 2 \]
计算 \( B^2 - AC = (2)^2 - (2)(2) = 0 \)，因此需要检查其他点。
4. 检查第一象限内其他可能的极值点，确定最小值。
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