在2017年考研数学一的第8题中，考生被要求求解一个涉及多元函数极限的问题。具体来说，题目可能是要求计算以下极限：
设函数 \( f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2} \)，求极限 \( \lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) \)。
解题思路如下：
首先，我们可以通过观察函数的几何意义来猜测极限值。当 \( (x, y) \) 趋近于原点时，\( x^2 \) 和 \( y^2 \) 都趋近于0，因此函数值似乎趋近于0。然而，为了严格证明这一点，我们需要使用极限的定义和适当的数学工具。
一种常用的方法是利用偏导数。我们先计算 \( f(x, y) \) 在 \( (0, 0) \) 点的偏导数：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0
\]
由于在原点处的偏导数都存在且为0，我们可以尝试使用洛必达法则或夹逼定理来证明原极限存在且等于0。
通过计算和证明，我们可以得出结论：\( \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} = 0 \)。
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