2015年考研数学二真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，在区间（-∞，+∞）内连续的是（ ）
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
C. \( f(x) = \sqrt{x} \)
D. \( f(x) = x^2 \)
答案：A
2. 设\( f(x) = \ln(x+1) \)，则\( f'(x) \)为（ ）
A. \( \frac{1}{x+1} \)
B. \( \frac{1}{x} \)
C. \( \frac{1}{x-1} \)
D. \( \frac{1}{x^2+1} \)
答案：A
3. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \)等于（ ）
A. 3
B. 1
C. 0
D. 无极限
答案：A
二、填空题
4. 设\( f(x) = e^x \)，则\( f''(x) \)为（ ）
答案：\( e^x \)
5. 设\( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4 \)，则\( x = 2 \)是\( f(x) = x^2 - 4 \)的（ ）
A. 极大值点
B. 极小值点
C. 驻点
D. 无极值点
答案：C
三、解答题
6. 求函数\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)的极值。
答案：\( f(x) \)在\( x = 1 \)处取得极大值\( f(1) = 0 \)，在\( x = -1 \)处取得极小值\( f(-1) = -4 \)。
7. 求函数\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)的导数。
答案：\( f'(x) = \frac{x^2 - 1}{(x - 1)^2} \)
8. 求不定积分\( \int x^2 e^x dx \)。
答案：\( \int x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C \)
9. 求定积分\( \int_0^1 \frac{1}{x} dx \)。
答案：\( \int_0^1 \frac{1}{x} dx = \ln(x) \bigg|_0^1 = \infty \)（无界）
10. 设\( f(x) = \sin(x) \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \)。
答案：\( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = 1 \)
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