在考研数学的行列式与矩阵的章节中，以下是一道典型的题目：
题目：已知矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \)。
解题思路：首先，求出 \( A \) 的行列式 \( |A| \)，然后根据 \( A^* = |A|A^{-1} \) 求出伴随矩阵。
\( |A| \) 的计算如下：
\[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \]
\[ = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \]
\[ = 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35) \]
\[ = -3 + 12 - 9 \]
\[ = 0 \]
由于 \( |A| = 0 \)，\( A \) 不可逆，但我们可以求出伴随矩阵 \( A^* \) 的每个元素。\( A^* \) 的元素可以通过计算 \( A \) 的代数余子式然后转置得到。
例如，\( A^*_{11} \) 是 \( A \) 中第1行第1列元素 \( a_{11} \) 的代数余子式，即：
\[ A^*_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 45 - 48 = -3 \]
类似地，可以计算出其他元素的代数余子式，最后将它们转置得到 \( A^* \)。
最后，使用以上步骤和计算方法，可以求得 \( A^* \)。当然，这个过程中涉及到很多代数计算，适合用考研刷题小程序来练习和检验。
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