在考研数学中，中值定理是高等数学中的一个核心概念，它主要涉及导数和积分的应用。以下是一道关于中值定理的典型题目：
题目：设函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \( f(a) = f(b) \)。证明：存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
解答思路：
1. 首先，根据题意，函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，满足罗尔定理的条件。
2. 根据罗尔定理，若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点函数值相等，则在开区间内至少存在一点 \( \xi \)，使得导数 \( f'(\xi) = 0 \)。
3. 因此，存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
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