2025年数一真题及解析答案如下：
一、选择题
1. 下列函数中，在x=0处连续的是（ ）
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = \frac{x}{|x|} \)
C. \( f(x) = \frac{x^2}{x} \)
D. \( f(x) = \frac{x^2}{|x|} \)
答案：A
2. 设\( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)，则\( f'(1) \)等于（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
答案：C
3. 设\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，则\( f(x) \)的极值点为（ ）
A. x=1
B. x=2
C. x=3
D. x=4
答案：A
4. 设\( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)，则\( f(x) \)的拐点为（ ）
A. (0, 1)
B. (0, -1)
C. (1, 0)
D. (-1, 0)
答案：A
5. 设\( f(x) = e^x \)，则\( f(x) \)的导数\( f'(x) \)等于（ ）
A. \( e^x \)
B. \( e^x + x \)
C. \( e^x - x \)
D. \( e^x + 1 \)
答案：A
二、填空题
6. 设\( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)，则\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)。
7. 设\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，则\( f''(x) = 6x - 6 \)。
8. 设\( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)，则\( f''(x) = -\frac{2}{(x^2 + 1)^3} \)。
三、解答题
9. 求函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)的单调区间。
解：\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)，令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = 1 \)或\( x = \frac{2}{3} \)。
当\( x < \frac{2}{3} \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；当\( \frac{2}{3} < x < 1 \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减；当\( x > 1 \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。
所以，函数的单调递增区间为\( (-\infty, \frac{2}{3}) \)和\( (1, +\infty) \)，单调递减区间为\( (\frac{2}{3}, 1) \)。
10. 求函数\( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)的拐点。
解：\( f''(x) = -\frac{2}{(x^2 + 1)^3} \)，令\( f''(x) = 0 \)，得\( x = 0 \)。
当\( x < 0 \)时，\( f''(x) > 0 \)，函数凸；当\( x > 0 \)时，\( f''(x) < 0 \)，函数凹。
所以，函数的拐点为\( (0, 1) \)。
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