2021年考研数学二真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数在x=0处可导的是（ ）
A. f(x) = |x|
B. f(x) = x^2
C. f(x) = e^x
D. f(x) = ln(x)
答案：C
解析：函数f(x) = e^x在x=0处可导，因为指数函数的导数始终存在。
2. 若lim(x→0) (sinx/x) = 1，则下列极限值正确的是（ ）
A. lim(x→0) (cosx - 1/x) = 0
B. lim(x→0) (sinx + 1/x) = 2
C. lim(x→0) (sinx - cosx) = 0
D. lim(x→0) (sinx + cosx) = 0
答案：A
解析：由三角函数的极限公式，知lim(x→0) (sinx/x) = 1，则cosx在x=0处的导数为1，即cosx - 1/x在x=0处的极限为0。
3. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(1) = （ ）
A. 0
B. 1
C. -2
D. 3
答案：C
解析：f'(x) = 3x^2 - 3，代入x=1，得f'(1) = 3 - 3 = -2。
二、填空题
1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f''(x) = _______。
答案：6x - 3
解析：f'(x) = 3x^2 - 3，f''(x) = 6x。
2. 若lim(x→∞) (lnx - lnx^2) = 0，则x = _______。
答案：e
解析：由极限的性质，得lnx - lnx^2 = lnx(1 - x)，当x→∞时，1 - x→-∞，lnx→∞，因此lnx(1 - x)→0，所以x = e。
三、解答题
1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
答案：f'(x) = 3x^2 - 3
解析：对f(x) = x^3 - 3x求导，得f'(x) = 3x^2 - 3。
2. 求函数f(x) = e^x * sinx在x=0处的导数。
答案：f'(0) = 0
解析：f'(x) = e^x * sinx + e^x * cosx，代入x=0，得f'(0) = e^0 * sin0 + e^0 * cos0 = 0。
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