考研数学一2003年真题解析如下：
一、选择题部分
1. 本题考查极限的计算。正确答案为D。
2. 本题考查函数的连续性。正确答案为C。
3. 本题考查导数的计算。正确答案为A。
4. 本题考查二重积分的计算。正确答案为B。
5. 本题考查级数的收敛性。正确答案为C。
二、填空题部分
6. 本题考查导数的计算。答案为$\frac{1}{2}$。
7. 本题考查二重积分的计算。答案为$\frac{\pi}{2}$。
8. 本题考查级数的收敛性。答案为$\frac{1}{2}$。
三、解答题部分
9. 本题考查函数的极值。首先求出函数的一阶导数和二阶导数，然后根据极值的定义进行判断。答案为：函数在$x=1$处取得极大值，极大值为$f(1)=2$。
10. 本题考查多元函数的极值。首先求出函数的一阶偏导数和二阶偏导数，然后根据极值的定义进行判断。答案为：函数在点$(1,1)$处取得极大值，极大值为$f(1,1)=2$。
11. 本题考查定积分的计算。首先将被积函数进行换元，然后计算定积分。答案为：$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin^2 x} dx = \frac{\pi}{2}$。
12. 本题考查级数的收敛性。首先判断级数的收敛性，然后计算级数的和。答案为：级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$收敛，和为$\frac{\pi^2}{6}$。
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