题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1 \)，求 \( f'(x) \) 并找出函数的极值点。
解答：
首先，对函数 \( f(x) \) 求导得到：
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \]
为了找到极值点，我们需要令导数等于零：
\[ 3x^2 - 6x + 4 = 0 \]
解这个一元二次方程，我们使用求根公式：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
其中 \( a = 3 \)，\( b = -6 \)，\( c = 4 \)。代入公式得：
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{6} \]
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{6} \]
\[ x = \frac{6 \pm 2i\sqrt{3}}{6} \]
\[ x = 1 \pm \frac{i\sqrt{3}}{3} \]
由于 \( x \) 为实数，我们排除复数解。因此，导数 \( f'(x) \) 没有实数根，说明函数 \( f(x) \) 在实数范围内没有极值点。
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