2022年考研数学二模拟题如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在$x=1$处可导，则$f'(1)$的值为：
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
2. 下列函数中，在区间$(0, +\infty)$上连续且可导的是：
A. $f(x) = |x|$
B. $f(x) = \sqrt{x}$
C. $f(x) = \frac{1}{x}$
D. $f(x) = e^x$
3. 设$a, b$为实数，若$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x=1$处取得极值，则$f'(1)$的值为：
A. $2a + b$
B. $a + b$
C. $2a$
D. $a$
4. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(0)$的值为：
A. 0
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. $\frac{1}{3}$
5. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$的值为：
A. 1
B. 2
C. 0
D. 无穷大
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 函数$f(x) = e^x - x$的单调递增区间为______。
7. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x^2 + a}}$的值为______。
8. 若$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f(-1)$的值为______。
9. 设$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f'(0)$的值为______。
10. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x}{x}$的值为______。
三、解答题（每题15分，共45分）
11. 求函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的极值。
12. 求函数$f(x) = e^x - x$的导数。
13. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
四、应用题（共30分）
14. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，求$f(x)$在区间$[0, 2]$上的最大值和最小值。
15. 设函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求$f(x)$在$x=0$处的切线方程。
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