在紧张的备考季，掌握考研数学三的精髓至关重要。以下是一份精心准备的考研数学三考试试题，助你一臂之力：
1. 设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 3x + 2} \)，求 \( f'(x) \)。
2. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\tan 3x} = k \)，求 \( k \) 的值。
3. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = -2A + 3E \)，证明 \( A \) 可逆，并求 \( A^{-1} \)。
4. 设 \( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 上连续，且 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 1 \)，证明存在 \( \xi \in (0, 1) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} \)。
5. 计算定积分 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sqrt{1 + \cos^2 x}} \, dx \)。
6. 已知 \( a, b, c \) 是等差数列，且 \( a + b + c = 9 \)，\( ab + bc + ca = 27 \)，求 \( abc \) 的值。
7. 设 \( f(x) = e^x - x \)，求 \( f(x) \) 的单调区间。
8. 已知 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \)，证明 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0 \)。
9. 设 \( P(x) = x^3 - 3x + 1 \)，求 \( P(x) \) 的零点。
10. 已知 \( A \) 是 \( n \) 阶对称矩阵，且 \( A^2 = A \)，证明 \( A \) 是可逆矩阵。
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