在追求学术巅峰的道路上，数学专业的考研学子们，每一次的练习都是对智慧的磨砺。以下是精心准备的数学专业考研试题，助你一臂之力：
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求 \( f(x) \) 的极值点。
2. 已知 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
3. 设 \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \)，\( \mathbf{b} = (4, 5, 6) \)，求 \( \mathbf{a} \) 与 \( \mathbf{b} \) 的夹角余弦值。
4. 求解微分方程 \( y'' - 2y' + 2y = 0 \)。
5. 设 \( f(x) = e^{2x} \sin x \)，求 \( f(x) \) 的导数。
6. 证明：对于任意实数 \( x \)，有 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)。
7. 已知 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的零点。
8. 设 \( A \) 是一个 \( 3 \times 3 \) 的实对称矩阵，证明 \( A \) 可对角化。
9. 求解线性方程组 \( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
10. 设 \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \)，求 \( f(x) \) 的反函数。
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