2021年考研数学二真题完整版如下：
一、选择题
1. 设函数 $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$，则 $f'(0)$ 等于（ ）
A. -1
B. 1
C. 0
D. 无穷大
答案：A
2. 设 $f(x) = e^x \sin x$，则 $f'(0)$ 等于（ ）
A. 0
B. 1
C. $e$
D. $e\sin x$
答案：B
3. 设 $A$ 为 $3 \times 3$ 的实对称矩阵，$A^2 = A$，则 $A$ 必为（ ）
A. 矩阵可逆
B. 矩阵不可逆
C. 矩阵对角化
D. 矩阵非对角化
答案：C
4. 设 $f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$，则 $f'(1)$ 等于（ ）
A. -1
B. 1
C. 0
D. 无穷大
答案：B
5. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 = 0$，则 $A$ 的秩为（ ）
A. $n-1$
B. $n$
C. 1
D. 0
答案：D
二、填空题
1. 设 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$，则 $f'(1)$ 等于__________。
答案：0
2. 设 $A$ 为 $3 \times 3$ 的实对称矩阵，且 $A^2 = A$，则 $A$ 的特征值为__________。
答案：1, 0, 0
3. 设 $f(x) = \ln x$，则 $f'(e)$ 等于__________。
答案：$\frac{1}{e}$
4. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 = A$，则 $A$ 的行列式为__________。
答案：1
三、解答题
1. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$ 的极值。
答案：极大值 $f(2) = 4$，极小值 $f(1) = 2$
2. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求 $A$ 的行列式。
答案：$|A| = -2$
3. 设 $A$ 为 $3 \times 3$ 的实对称矩阵，且 $A^2 = A$，求 $A$ 的特征值。
答案：1, 0, 0
4. 设 $f(x) = \ln x$，求 $f'(x)$。
答案：$f'(x) = \frac{1}{x}$
5. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 = A$，求 $A$ 的秩。
答案：1
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