2022年考研数二19题，是一道综合性较强的题目。题目要求考生运用高等数学中的极限、导数和积分等知识，解决一个与实际应用相结合的问题。解题过程如下：
首先，观察题目给出的函数，发现其形式复杂，难以直接求导。因此，我们需要运用换元法，将函数转化为一个易于处理的形式。设$x = \tan t$，则$dx = \sec^2 t \, dt$。代入原函数，得到：
$$f(x) = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \, dt$$
接下来，我们需要求出$f'(x)$。根据链式法则，有：
$$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} \cdot \frac{d}{dx} \frac{\pi}{4}$$
由于$\frac{\pi}{4}$是常数，所以$\frac{d}{dx} \frac{\pi}{4} = 0$。因此，$f'(x) = 0$。
最后，我们需要求出$f'(0)$。由于$f'(x) = 0$，所以$f'(0) = 0$。
综上所述，2022年考研数二19题的答案为$f'(0) = 0$。
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