2015年考研数学二真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 【解析】选项A，因为$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} = 0$。
2. 【解析】选项B，因为$y' = 2x - 1$，所以$y'' = 2$。
3. 【解析】选项C，因为$\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$。
4. 【解析】选项D，因为$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$。
二、填空题
5. 【解析】$x^3 - 3x^2 + 2x$。
6. 【解析】$\frac{1}{2}$。
7. 【解析】$e^2$。
三、解答题
8. 【解析】
（1）令$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。
令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
（2）当$x = 1$时，$f(1) = 0$；当$x = \frac{2}{3}$时，$f(\frac{2}{3}) = -\frac{2}{27}$。
因此，$f(x)$的极小值为$-\frac{2}{27}$，极大值为$0$。
9. 【解析】
（1）令$f(x) = e^x - x^2$，求导得$f'(x) = e^x - 2x$。
令$f'(x) = 0$，解得$x = 0$或$x = \ln 2$。
（2）当$x = 0$时，$f(0) = 1$；当$x = \ln 2$时，$f(\ln 2) = 2 - 2\ln 2$。
因此，$f(x)$的最小值为$2 - 2\ln 2$。
10. 【解析】
（1）设$\begin{cases}x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta\end{cases}$，则$x^2 + y^2 = r^2$。
（2）$\iint_D x^2 + y^2 \, d\sigma = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^4 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, dr \, d\theta$。
（3）$\int_0^{2\pi} \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \sin^2 2\theta \, d\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{\pi}{8}$。
（4）$\iint_D x^2 + y^2 \, d\sigma = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{40}$。
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