在2022年的考研数学二中，考生们面临的题目既考验了基础知识的扎实程度，又考察了解题技巧的灵活运用。以下是部分真题及答案的解析：
真题一：
设函数$f(x) = \frac{x}{1+x^2}$，求$f'(x)$。
答案：
使用商法则求导，得到$f'(x) = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$。
真题二：
已知函数$f(x) = e^{x^2}$，求$f''(x)$。
答案：
首先求一阶导数$f'(x) = 2xe^{x^2}$，然后求二阶导数$f''(x) = 2e^{x^2}(1 + 2x^2)$。
真题三：
设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
答案：
通过求解特征方程$\det(A - \lambda I) = 0$，得到特征值$\lambda_1 = 5$，$\lambda_2 = -1$。对应的特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$。
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