2025年考研数学二最后一题，是一道综合运用高等数学知识的难题。题目如下：
已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求证：存在唯一的实数$\alpha$，使得$f'(\alpha) = 0$，且$f(\alpha) = 0$。
证明：
首先，求出$f(x)$的一阶导数$f'(x)$，得$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。
接下来，考虑$f'(x)$的零点。由于$f'(x)$是一个二次多项式，其判别式$\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 144 - 108 = 36 > 0$，因此$f'(x)$有两个实数零点。
根据罗尔定理，若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a, b)$内可导，且$f(a) = f(b)$，则存在至少一个$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$。
由$f'(x)$在实数域上连续，且$f'(0) = 9 > 0$，$f'(3) = 0$，根据零点存在定理，存在$\alpha \in (0, 3)$，使得$f'(\alpha) = 0$。
接下来，证明$f(\alpha) = 0$。由于$f(x)$在实数域上连续，且$f(0) = 1 > 0$，$f(3) = 1 > 0$，根据零点存在定理，存在$\beta \in (0, 3)$，使得$f(\beta) = 0$。
因此，存在唯一的实数$\alpha$，使得$f'(\alpha) = 0$，且$f(\alpha) = 0$。
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