2021年考研数学题目及答案如下：
一、选择题（每题5分，共10分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(x)$在$x=0$处的值为：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
答案：A
2. 下列函数中，连续且可导的是：
A. $f(x) = |x^2 - 1|$
B. $f(x) = \sqrt[3]{x}$
C. $f(x) = \frac{1}{x}$
D. $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$
答案：B
二、填空题（每题5分，共10分）
3. $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$
4. $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
三、解答题（共80分）
5. （15分）求函数$f(x) = e^x - x - 1$的极值。
解答：$f'(x) = e^x - 1$，令$f'(x) = 0$，得$x = 0$。当$x < 0$时，$f'(x) < 0$；当$x > 0$时，$f'(x) > 0$。因此，$x = 0$是$f(x)$的极小值点，极小值为$f(0) = 0$。
6. （20分）设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
解答：$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$。
7. （45分）设$y = f(x)$，其中$f(x) = \begin{cases} e^x, & x \geq 0 \\ \ln x, & x < 0 \end{cases}$，求$f'(x)$。
解答：$f'(x) = \begin{cases} e^x, & x > 0 \\ \frac{1}{x}, & x < 0 \end{cases}$。
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