2020年考研数学三真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. $f(x)=|x|$
B. $f(x)=\sqrt{x}$
C. $f(x)=\frac{1}{x}$
D. $f(x)=e^x$
答案：D
解析：A、B、C选项中，函数在x=0处均不连续，而D选项中函数连续且可导。
2. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(1)=\frac{1}{3}$的充要条件是（ ）
A. $f''(1)=0$
B. $f''(1)=3$
C. $f''(1)=6$
D. $f''(1)=-6$
答案：C
解析：根据泰勒公式，$f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2}(x-1)^2+\frac{f'''(1)}{6}(x-1)^3$，代入$x=1$，得$f(1)=0$。又因为$f'(1)=-3$，代入选项C，得$f''(1)=6$，符合条件。
3. 设$a>0$，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. $\ln(a+1)>\frac{a}{2}$
B. $\ln(a+1)<\frac{a}{2}$
C. $\ln(a+1)=\frac{a}{2}$
D. $\ln(a+1)$与$\frac{a}{2}$的大小关系不确定
答案：A
解析：构造函数$f(x)=\ln(x+1)-\frac{x}{2}$，求导得$f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}$，当$x>0$时，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。又因为$f(0)=0$，所以当$a>0$时，$\ln(a+1)>\frac{a}{2}$。
4. 设$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，则$f'(0)=\frac{1}{2}$的充要条件是（ ）
A. $f''(0)=0$
B. $f''(0)=\frac{1}{2}$
C. $f''(0)=-\frac{1}{2}$
D. $f''(0)$不存在
答案：B
解析：对$f(x)$求导得$f'(x)=\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$，代入$x=0$，得$f'(0)=\frac{1}{2}$。对$f'(x)$求导得$f''(x)=-\frac{3x}{(1+x^2)^{5/2}}$，代入$x=0$，得$f''(0)=\frac{1}{2}$。
5. 设$a>0$，$b>0$，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$
B. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq 2$
C. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2$
D. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的大小关系不确定
答案：A
解析：由均值不等式得$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2$，等号成立当且仅当$a=b$。
二、填空题
1. 设$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，则$f'(0)=\frac{1}{2}$。
2. 设$a>0$，$b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$。
三、解答题
1. 求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$。
答案：$\frac{1}{3}$
解析：令$t=x-\frac{\pi}{2}$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\lim_{t\to -\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(t+\frac{\pi}{2})-\tan(t+\frac{\pi}{2})}{(t+\frac{\pi}{2})^3}=\lim_{t\to -\frac{\pi}{2}}\frac{\cos t-\frac{1}{\cos t}}{(t+\frac{\pi}{2})^3}=\lim_{t\to -\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2 t-1}{\cos t(t+\frac{\pi}{2})^3}=\lim_{t\to -\frac{\pi}{2}}\frac{-\sin^2 t}{\cos t(t+\frac{\pi}{2})^3}=\lim_{t\to -\frac{\pi}{2}}\frac{-t^2}{(t+\frac{\pi}{2})^3}=\frac{1}{3}$。
2. 求函数$f(x)=x^3-3x+2$的极值。
答案：极大值$f(-1)=4$，极小值$f(2)=-2$。
解析：求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=-1$和$x=1$。当$x<-1$时，$f'(x)>0$，当$-1
3. 设$a>0$，$b>0$，证明$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$。
证明：由均值不等式得$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2$，等号成立当且仅当$a=b$。
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