在2025年考研数学二考试中，最后一题的答案如下：
（由于具体题目内容未提供，以下为模拟答案示例）
解答：
（一）设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求 \( f(x) \) 的极值。
1. 计算 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = \pm 1 \)。
3. 分析 \( f'(x) \) 在 \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \) 附近的符号变化，确定 \( x = -1 \) 为极大值点，\( x = 1 \) 为极小值点。
4. 计算 \( f(-1) = 2 \) 和 \( f(1) = 0 \)。
因此，\( f(x) \) 的极大值为 2，极小值为 0。
（二）证明：若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \) 存在且等于 \(-\frac{1}{2}\)。
1. 由于 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，可知 \( \sin x \) 在 \( x \) 接近 0 时与 \( x \) 成正比。
2. 使用泰勒展开 \( \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \)。
3. 代入极限表达式，得 \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^2}{2} - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2} \)。
证毕。
微信小程序：【考研刷题通】——你的考研刷题神器，政治、英语、数学等全部考研科目题库全面覆盖，随时随地，高效备考。立即体验，开启你的考研之旅！【考研刷题通】