2021年考研数学一真题及解析如下：
一、选择题（每题5分，共10题）
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$在$x=1$处取得极值，则该极值为：
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令$f'(x) = 0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。将$x=1$代入$f(x)$，得$f(1) = -1$，故选A。
2. 设$A$是$n$阶方阵，$B$是$m$阶方阵，$AB$是$n \times m$矩阵，则$AB$的秩为：
A. $n$ B. $m$ C. $min(n, m)$ D. $max(n, m)$
解析：矩阵乘积的秩小于等于参与乘积的矩阵中秩较小的那个，故选C。
二、填空题（每题5分，共5题）
3. 函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$的周期为$\pi$。
解析：函数$f(x)$的周期为$\pi$，因为$f(x + \pi) = \frac{1}{(x + \pi)^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1} = f(x)$。
4. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式为$-2$。
解析：$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2$。
5. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
解析：这是一个著名的极限，利用洛必达法则或泰勒展开均可得到结果。
三、解答题（每题20分，共4题）
6. 计算定积分$\int_0^{\pi} \sin x \cos x \, dx$。
解析：$\int_0^{\pi} \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^{\pi} = 0$。
7. 求解线性方程组$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases}$。
解析：通过消元法，将第二个方程乘以2，得到$2x - 2y = 4$，与第一个方程相减，得到$5y = 4$，解得$y = \frac{4}{5}$，代入第二个方程，得$x = \frac{14}{5}$。
8. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$的极值。
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令$f'(x) = 0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。将这两个值分别代入$f(x)$，得到$f(1) = -1$和$f(\frac{2}{3}) = \frac{1}{27}$，故极大值为$\frac{1}{27}$，极小值为$-1$。
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