在2024年考研数学二的试卷中，第四题可能是一道关于多元函数微积分的综合应用题。假设题目如下：
题目：设函数 \( f(x, y) = x^2e^y \)，其中 \( x \) 和 \( y \) 是变量。已知 \( f(x, y) \) 在区域 \( D: \{ (x, y) | x^2 + y^2 \leq 1 \} \) 上连续。求函数 \( f(x, y) \) 在区域 \( D \) 上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 求偏导数：首先计算 \( f(x, y) \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
\[ f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2e^y) = 2xe^y \]
\[ f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2e^y) = x^2e^y \]
2. 寻找驻点：令 \( f_x = 0 \) 和 \( f_y = 0 \)，解得驻点。
\[ 2xe^y = 0 \Rightarrow x = 0 \]
\[ x^2e^y = 0 \Rightarrow y = 0 \]
因此，驻点为 \( (0, 0) \)。
3. 求二阶偏导数：计算 \( f_{xx} \)，\( f_{xy} \)，和 \( f_{yy} \)。
\[ f_{xx} = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(x^2e^y) = 2e^y \]
\[ f_{xy} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(x^2e^y) = 2xe^y \]
\[ f_{yy} = \frac{\partial^2}{\partial y^2}(x^2e^y) = x^2e^y \]
4. 判断驻点的性质：计算判别式 \( D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 \)。
\[ D = (2e^y)(x^2e^y) - (2xe^y)^2 = 2x^2e^{2y} - 4x^2e^{2y} = -2x^2e^{2y} \]
由于 \( x = 0 \)，所以 \( D = 0 \)，驻点 \( (0, 0) \) 可能是极值点。
5. 边界上的极值：考虑区域 \( D \) 的边界，即 \( x^2 + y^2 = 1 \)。
通过拉格朗日乘数法或直接在边界上求解，可以得到边界上的极值。
6. 比较驻点和边界上的极值：比较驻点 \( (0, 0) \) 和边界上的极值，确定最大值和最小值。
总结：通过上述步骤，可以求出函数 \( f(x, y) \) 在区域 \( D \) 上的最大值和最小值。
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