2023数学二考研真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. D
4. B
5. A
6. C
7. D
8. B
9. A
10. C
二、填空题
11. 1/2
12. e
13. π
14. 1/3
15. 2
三、解答题
16. 解：根据题目条件，建立微分方程 y' + y = 2x，解得 y = e^(-x)(C - x) + x^2。根据初始条件 y(0) = 1，解得 C = 2，所以 y = e^(-x)(2 - x) + x^2。
17. 解：由定积分的性质，有 ∫[0,1] f(x) dx = ∫[0,1] f(1-x) dx。令 u = 1-x，则 du = -dx，当 x = 0 时，u = 1；当 x = 1 时，u = 0。所以 ∫[0,1] f(x) dx = -∫[1,0] f(u) du = ∫[0,1] f(u) du。
18. 解：根据题目条件，设 A = {x | x^2 - 4x + 3 = 0}，则 A = {1, 3}。由于 A 的对称轴为 x = 2，所以 f(x) = a(x-2)^2 + b。根据 f(1) = 2 和 f(3) = 6，解得 a = 1，b = 1。因此，f(x) = (x-2)^2 + 1。
四、证明题
19. 证明：设 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且 f(a) < f(b)。根据介值定理，存在 c ∈ (a, b)，使得 f(c) = (f(a) + f(b))/2。因此，f(x) 在 [a, b] 上的最大值和最小值分别在端点 a 和 b 取得。
五、应用题
20. 解：根据题目条件，建立微分方程 dy/dx = (y^2 - 1)/x，分离变量得 y^2 - 1 = ∫(1/x) dx = ln|x| + C。根据初始条件 y(1) = 2，解得 C = 1，所以 y^2 - 1 = ln|x| + 1，即 y = √(ln|x| + 2)。
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