在2023年考研数三的答案中，以下是一些关键题目的原创解答：
1. 线性代数题：设矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，得到特征值 \( \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 6 \)。对应特征向量分别为 \( \vec{v_1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \) 和 \( \vec{v_2} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \)。
2. 概率论题：已知随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda = 0.5 \) 的泊松分布，求 \( P(X \geq 3) \)。
解答：利用泊松分布的累积分布函数，\( P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) \)。计算得到 \( P(X \geq 3) \approx 0.346 \)。
3. 微分方程题：求解微分方程 \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \)。
解答：先求解对应的齐次方程 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)，特征方程 \( r^2 - 4r + 4 = 0 \) 有重根 \( r = 2 \)。因此，通解为 \( y_h = (C_1 + C_2x)e^{2x} \)。非齐次方程的特解可设为 \( y_p = Ax^2e^{2x} \)，代入原方程求解得 \( A = \frac{1}{4} \)，所以特解为 \( y_p = \frac{1}{4}x^2e^{2x} \)。综上，通解为 \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} + \frac{1}{4}x^2e^{2x} \)。
4. 概率题：某工厂生产的产品合格率为0.95，现从该工厂生产的产品中随机抽取10件，求其中恰好有7件合格的概率。
解答：这是一个二项分布问题，概率公式为 \( P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \)，其中 \( n = 10, k = 7, p = 0.95 \)。计算得到 \( P(X = 7) \approx 0.314 \)。
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