考研2023数学二真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续且可导的是：（ ）
- A. \( f(x) = |x| \)
- B. \( f(x) = x^2 \)
- C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
- D. \( f(x) = e^x \)
答案：D
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \) 等于：（ ）
- A. 1
- B. 2
- C. 0
- D. 无穷大
答案：A
二、填空题
3. 函数 \( f(x) = e^x - x \) 的二阶导数为：（ ）
- A. \( e^x - 1 \)
- B. \( e^x \)
- C. \( e^x - 2x \)
- D. \( e^x - x^2 \)
答案：B
4. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 矩阵，且 \( \det(A) = 0 \)，则 \( A \) 的行列式值为：（ ）
- A. 0
- B. 1
- C. -1
- D. 无穷大
答案：A
三、解答题
5. 计算定积分 \( \int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx \)。
答案：\(\frac{5}{3}\)
6. 求解微分方程 \( y' - 2y = x^2 \)。
答案：\( y = e^{2x}(C + \frac{x^2}{4}) \)
7. 设 \( A \) 为 \( 2 \times 2 \) 矩阵，且 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，求 \( A^{-1} \)。
答案：\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \)
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