在张宇基础30讲中，我们选取了一道典型的例题进行深入讲解。假设题目如下：
例题：已知函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求 \( f(x) \) 的极值。
解题步骤：
1. 求导数：首先，我们需要求出函数 \( f(x) \) 的一阶导数 \( f'(x) \)。根据导数公式，我们有：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
2. 求导数的零点：接下来，我们需要找出 \( f'(x) \) 的零点，即解方程 \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \)。通过因式分解或使用求根公式，我们可以得到：
\[ x = 1 \quad \text{或} \quad x = 3 \]
3. 判断极值：为了确定这些零点对应的极值类型，我们需要计算 \( f(x) \) 在这些点的二阶导数 \( f''(x) \)。计算过程如下：
\[ f''(x) = 6x - 12 \]
将 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 分别代入 \( f''(x) \)，我们得到：
\[ f''(1) = -6 \quad \text{（负值，说明在 \( x = 1 \) 处有极大值）} \]
\[ f''(3) = 6 \quad \text{（正值，说明在 \( x = 3 \) 处有极小值）} \]
4. 计算极值：最后，我们将 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 分别代入原函数 \( f(x) \)，得到：
\[ f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 = 4 \]
\[ f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 = 0 \]
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极大值 4，在 \( x = 3 \) 处取得极小值 0。
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