在高等数学的考研备考中，极限和可导是两个紧密相连的概念。以下是对这两个概念关系的深入讲解：
1. 极限的引入：首先，我们要理解极限是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为趋势。简单来说，一个函数在某点的极限就是当自变量趋近于该点时，函数值的趋向。
2. 可导的定义：接着，我们来看可导。一个函数在某点可导，意味着该点的导数存在，即函数在这一点的切线斜率可以准确表示。导数的计算基于极限的概念，即导数等于函数增量与自变量增量之比在自变量增量趋近于0时的极限。
3. 极限与可导的关系：
- 充分性：如果函数在某点的导数存在，那么该点一定存在极限。这是因为导数的定义本身就涉及到一个极限过程。
- 必要性：反之，如果一个函数在某点的极限存在，并不意味着该点一定可导。这是因为存在一些函数虽然极限存在，但其导数可能不存在，如函数在某些点有尖点或间断点。
4. 应用实例：例如，在研究函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的性质时，我们可以通过计算极限来验证其在该点的可导性。极限 \( \lim_{{x \to 0}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x^2}{x} = 0 \) 存在，且该点导数 \( f'(0) = 0 \)，因此 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处可导。
5. 备考建议：在备考考研高等数学时，要注意对极限和可导性的理解与练习。特别是对极限的存在性、可导性的判定方法以及二者关系的深入掌握，对于解决实际问题至关重要。
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