2023年考研数二试题如下：
一、选择题（共10题，每题5分，共50分）
1. 设函数$f(x)=\ln x$，则$f'(x)=\left(\right)$
A. $\frac{1}{x}$
B. $\frac{1}{x^2}$
C. $\frac{1}{x^3}$
D. $\frac{1}{x^4}$
2. 若$a>0$，$b>0$，则$\sqrt{a^2+b^2}\geq a+b$的充分必要条件是$\left(\right)$
A. $a=b$
B. $a^2+b^2\geq 2ab$
C. $a^2+b^2\leq 2ab$
D. $a^2+b^2\geq 2ab$且$a^2+b^2\neq 2ab$
3. 设$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(x)=\left(\right)$
A. $3x^2-3$
B. $3x^2+3$
C. $3x^2-6$
D. $3x^2+6$
4. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\left(\right)$
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{2}$
5. 设$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(x)=\left(\right)$
A. $-\frac{1}{x^2}$
B. $\frac{1}{x^2}$
C. $-\frac{1}{x}$
D. $\frac{1}{x}$
6. 设$a>0$，$b>0$，则$\sqrt{a^2+b^2}\leq a+b$的充分必要条件是$\left(\right)$
A. $a=b$
B. $a^2+b^2\leq 2ab$
C. $a^2+b^2\geq 2ab$
D. $a^2+b^2\leq 2ab$且$a^2+b^2\neq 2ab$
7. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\left(\right)$
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{2}$
8. 设$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(x)=\left(\right)$
A. $3x^2-3$
B. $3x^2+3$
C. $3x^2-6$
D. $3x^2+6$
9. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\left(\right)$
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{2}$
10. 设$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(x)=\left(\right)$
A. $-\frac{1}{x^2}$
B. $\frac{1}{x^2}$
C. $-\frac{1}{x}$
D. $\frac{1}{x}$
二、填空题（共10题，每题5分，共50分）
11. 设$f(x)=\ln x$，则$f'(x)=\left(\right)$
12. 设$a>0$，$b>0$，则$\sqrt{a^2+b^2}\geq a+b$的充分必要条件是$\left(\right)$
13. 设$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(x)=\left(\right)$
14. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\left(\right)$
15. 设$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(x)=\left(\right)$
16. 设$a>0$，$b>0$，则$\sqrt{a^2+b^2}\leq a+b$的充分必要条件是$\left(\right)$
17. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\left(\right)$
18. 设$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(x)=\left(\right)$
19. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\left(\right)$
20. 设$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(x)=\left(\right)$
三、解答题（共2题，共40分）
21. 设$f(x)=x^3-3x+1$，求$f'(x)$，并求$f(x)$在$x=1$处的切线方程。
22. 设$a>0$，$b>0$，证明：$\sqrt{a^2+b^2}\leq a+b$。
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