2025考研数学二第17题：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求函数在区间$[-1,2]$上的最大值和最小值。
解答过程如下：
1. 求导：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 求导数的零点：$3x^2-6x+4=0$，解得$x_1=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$，$x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{3}$。
3. 确定极值点：$f(-1)=-1$，$f(\frac{2-\sqrt{2}}{3})=\frac{2\sqrt{2}-5}{3}$，$f(\frac{2+\sqrt{2}}{3})=\frac{2\sqrt{2}+5}{3}$，$f(2)=3$。
4. 比较极值点和端点处的函数值，得到最大值和最小值：最大值为$\frac{2\sqrt{2}+5}{3}$，最小值为$-1$。
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