在备战考研数学2的过程中，一套高质量的模拟题无疑能帮助你查漏补缺，提升解题能力。以下是一份精心准备的考研数学2模拟题，涵盖多项选择题、填空题和解答题，旨在全面检验你的数学基础和应试技巧。
一、多项选择题（每题2分，共10分）
1. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. $f(x) = |x|$，$x \in \mathbb{R}$
B. $f(x) = \frac{1}{x}$，$x \neq 0$
C. $f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$，$x \neq 0$
D. $f(x) = \sqrt{x}$，$x \geq 0$
2. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f'(0)$等于（ ）
A. -3
B. 0
C. 1
D. 3
3. 若$A$是$n$阶方阵，$B$是$m$阶方阵，且$AB = 0$，则下列结论正确的是（ ）
A. $A$的秩小于$n$
B. $B$的秩小于$m$
C. $A$的秩小于$n$且$B$的秩小于$m$
D. 无法确定
4. 设$a_1, a_2, a_3$是实数，且$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$，则下列结论正确的是（ ）
A. $a_1 + a_2 + a_3 = 0$
B. $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 0$
C. $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \geq 0$
D. $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \leq 0$
5. 设$f(x)$是定义在$(0, +\infty)$上的连续函数，且$f'(x) > 0$，则下列结论正确的是（ ）
A. $f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增
B. $f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递减
C. $f(x)$在$(0, +\infty)$上无单调性
D. 无法确定
二、填空题（每题2分，共10分）
6. 设$a$，$b$，$c$是实数，且$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，则$(a + b + c)^2$的最大值为______。
7. 设$f(x) = \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 - 1}$，则$f'(1)$等于______。
8. 设$A$是$3 \times 3$矩阵，且$A^2 = 0$，则$A$的秩小于______。
9. 设$f(x) = e^{2x} - 1$，则$f'(x)$等于______。
10. 设$a$，$b$，$c$是实数，且$a^2 + b^2 + c^2 = 1$，则$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$的最小值为______。
三、解答题（每题10分，共40分）
11. 求函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$的导数$f'(x)$。
12. 求方程组$\begin{cases}x + y + z = 1 \\ 2x - y + z = 0 \\ x + 2y - z = 2\end{cases}$的解。
13. 求矩阵$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$的行列式。
14. 求函数$f(x) = e^{2x} - 1$在$x = 0$处的切线方程。
15. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
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