在备考考研数学的过程中，逻辑推理题是不可或缺的一部分。以下是一道典型的考研数学逻辑推理题：
题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，且$f(0) = 1$，$f(1) = 3$，$f(2) = 5$。
问题：若$f(x)$在区间[0, 2]上连续，且在区间(0, 2)内可导，证明存在至少一个点$\xi \in (0, 2)$，使得$f'(\xi) = 2$。
解答过程：
1. 由于$f(x)$在区间[0, 2]上连续，且在区间(0, 2)内可导，根据罗尔定理，至少存在一个点$\xi \in (0, 2)$，使得$f'(\xi) = 0$。
2. 计算$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，并求导得$f''(x) = 6x - 6$。
3. 因为$f''(x)$在区间(0, 2)内是增函数，所以存在唯一一个点$\eta \in (0, 2)$，使得$f''(\eta) = 0$。
4. 由于$f''(\eta) = 0$，根据罗尔定理，存在至少一个点$\xi \in (0, \eta)$，使得$f'(\xi) = 2$。
结论：存在至少一个点$\xi \in (0, 2)$，使得$f'(\xi) = 2$。
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