2014年数二考研真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)$的零点为：
A. 1 B. -1 C. 2 D. 0
解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=\pm1$，故选A。
2. 设$a>0$，$b>0$，则$\frac{a^2+b^2}{2}\geq ab$的充要条件是：
A. $a=b$ B. $a^2+b^2\geq 2ab$ C. $a^2+b^2\leq 2ab$ D. $a^2+b^2=2ab$
解析：由柯西不等式得$(a^2+b^2)(1^2+1^2)\geq(a+b)^2$，即$a^2+b^2\geq 2ab$，故选B。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$A^2$的行列式为：
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80
解析：$A^2=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}$，故$\det(A^2)=\det\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}=154$，故选B。
二、填空题
1. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)$的零点为______。
解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=\pm1$，故填$\pm1$。
2. 设$a>0$，$b>0$，则$\frac{a^2+b^2}{2}\geq ab$的充要条件是______。
解析：由柯西不等式得$(a^2+b^2)(1^2+1^2)\geq(a+b)^2$，即$a^2+b^2\geq 2ab$，故填$a^2+b^2\geq 2ab$。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$A^2$的行列式为______。
解析：$A^2=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}$，故$\det(A^2)=\det\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}=154$，故填154。
三、解答题
1. 设$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$的极值。
解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=\pm1$，$f''(x)=6x$，$f''(-1)=-6<0$，$f''(1)=6>0$，故$x=-1$是$f(x)$的极大值点，$x=1$是$f(x)$的极小值点，极大值为$f(-1)=4$，极小值为$f(1)=0$。
2. 设$a>0$，$b>0$，证明：$\frac{a^2+b^2}{2}\geq ab$。
解析：由柯西不等式得$(a^2+b^2)(1^2+1^2)\geq(a+b)^2$，即$a^2+b^2\geq 2ab$。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A^2$的行列式。
解析：$A^2=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}$，故$\det(A^2)=\det\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}=154$。
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