2012年考研数学三真题及答案解析如下：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 设函数 $f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$，则 $f'(x)$ 为（ ）
A. $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$
B. $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$
C. $\frac{1}{x^2} + \ln x$
D. $\frac{1}{x^2} - \ln x$
答案：A
2. 设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A^{-1}$ 的伴随矩阵为（ ）
A. $A^{-1}$
B. $AA^{-1}$
C. $A^2$
D. $A^2A^{-1}$
答案：A
3. 设 $f(x)$ 是定义在 $[0, +\infty)$ 上的连续函数，且满足 $f(x) = f(\sqrt{x})$，则 $f(x)$ 的图形为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
4. 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0) = 0$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x^2}$ 等于（ ）
A. $f'(0)$
B. $f''(0)$
C. $f'(0) + f''(0)$
D. $f'(0) + f''(0) + f'''(0)$
答案：B
5. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 = A$，则 $A$ 的特征值可能为（ ）
A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. 以上都是
答案：D
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设 $f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$，则 $f'(x)$ 等于______。
答案：$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$
2. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则 $A^2$ 等于______。
答案：$\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$
3. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则 $f'(x)$ 等于______。
答案：$3x^2 - 6x + 4$
4. 设 $f(x) = e^x \sin x$，则 $f'(x)$ 等于______。
答案：$e^x(\sin x + \cos x)$
5. 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 = A$，则 $A$ 的特征值可能为______。
答案：$0$，$1$
三、解答题（每题10分，共30分）
1. 设 $f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$，求 $f'(x)$。
解答：$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$
2. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求 $A^2$。
解答：$A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$
3. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求 $f'(x)$。
解答：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$
4. 设 $f(x) = e^x \sin x$，求 $f'(x)$。
解答：$f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f'(x)$ 在 $(a, b)$ 内存在，且 $f'(a) = f'(b)$，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。
证明：略。
2. 证明：若 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 = A$，则 $A$ 的特征值可能为 $0$ 或 $1$。
证明：略。
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